1. Дать определение параллельных прямых. Сформулировать аксиому параллельных прямых, признаки параллельных прямых. 2. Сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 8,6 см, а боковая сторона треугольника равна 17,2 см. Найдите углы этого треугольника. 4. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию. Билет 2 1. Дать определение параллельных прямых. Сформулировать аксиому параллельных прямых, свойства параллельных прямых. 2. Сформулировать и доказать теорему о внешнем угле треугольника. 3. В прямоугольном треугольнике с прямым углом внешний угол при вершине равен 120°. Найдите. 4. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к этому катету. Билет 3 1. Сформулировать теорему и следствие о сумме углов треугольника, теорему и следствие о внешнем угле треугольника. 2. Сформулировать и доказать признак параллельности прямых по внутренним накрест лежащим углам. 3. В треугольнике медиана в 2 раза меньше стороны. Известно, что. Найдите угол. 4. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника. Билет 4 1. Сформулировать теорему о неравенстве треугольника, теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника. 2. Сформулировать и доказать признаки параллельности прямых по внутренним односторонним и соответственным углам. 3. Найдите периметр равнобедренного треугольника, две стороны которого равны 3 и 9 см. 4. В прямоугольном треугольнике провели высоту. Найдите отрезок

Билет 1

1. Параллельные прямые

Определение: Две прямые в плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых (V постулат Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Признаки параллельности прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

2. Теорема о сумме углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC. Тогда:

• Угол ADB равен углу BAC (как накрест лежащие при параллельных прямых AC и DE и секущей AB).
• Угол BEC равен углу BCA (как накрест лежащие при параллельных прямых AC и DE и секущей BC).
• Угол ABC — общий.
• Сумма углов ADB, ABC, BEC равна 180° (развернутый угол).
• Следовательно, сумма углов треугольника BAC, ABC, BCA равна 180°.

3. Углы равнобедренного треугольника

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC).
• Высота BH = 8,6 см.
• Боковая сторона AB = 17,2 см.

Найти: углы треугольника.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
2. Мы знаем гипотенузу AB = 17,2 см и катет BH = 8,6 см.
3. Синус угла BAH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \( \tag{1} \text{sin}(\text{BAH}) = \frac{BH}{AB} = \frac{8.6}{17.2} = \frac{1}{2} \)
4. Следовательно, угол BAH = 30°.
5. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны: угол BAC = угол BCA = 30°.
6. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол ABC = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

Ответ: Углы треугольника равны 30°, 30°, 120°.

4. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC. Проведем внешний угол при вершине B. Пусть CD — биссектриса этого угла. Угол BCD равен половине внешнего угла при вершине B.

Внешний угол при вершине B равен сумме двух других углов треугольника: \( \tag{2} \text{Внешний} \text{ }
olangle B = \text{ }
olangle A + \text{ }
olangle C \). Так как \( \text{ }
olangle A = \text{ }
olangle C \), то внешний \( \text{ }
olangle B = 2 \text{ }
olangle A \).

Угол BCD = \( \frac{1}{2} \text{Внешний} \text{ }
olangle B = \text{ }
olangle A \).

Угол BCD и угол BAC являются соответственными углами при пересечении прямых CD и AB секущей AC. Так как \( \text{ }
olangle BCD = \text{ }
olangle BAC \), то прямые CD и AB параллельны.

Билет 2

1. Параллельные прямые

Определение: Две прямые в плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Свойства параллельных прямых:

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

2. Теорема о внешнем угле треугольника

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть внешний угол при вершине B равен \( \text{ }
olangle CBD \). Угол ABC и угол CBD — смежные, поэтому \( \text{ }
olangle ABC + \text{ }
olangle CBD = 180^\circ \). Также, сумма углов треугольника равна 180°, т.е. \( \text{ }
olangle BAC + \text{ }
olangle ABC + \text{ }
olangle BCA = 180^\circ \).

Из первого уравнения: \( \text{ }
olangle CBD = 180^\circ - \text{ }
olangle ABC \).

Из второго уравнения: \( \text{ }
olangle ABC = 180^\circ - (\text{ }
olangle BAC + \text{ }
olangle BCA) \).

Подставим значение \( \text{ }
olangle ABC \) во второе уравнение: \( \text{ }
olangle CBD = 180^\circ - (180^\circ - (\text{ }
olangle BAC + \text{ }
olangle BCA)) = \text{ }
olangle BAC + \text{ }
olangle BCA \).

Таким образом, внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

3. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC (\( \text{ }
  olangle C = 90^\circ \)).
• Внешний угол при вершине C равен 120°.

Найти: Углы треугольника.

Решение:

1. Угол при вершине C и внешний угол при вершине C — смежные, их сумма равна 180°.
2. Следовательно, \( \text{ }
   olangle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
3. Но по условию \( \text{ }
   olangle C = 90^\circ \). Здесь есть противоречие. Вероятно, в условии имелся в виду внешний угол при другой вершине.
4. Если внешний угол при вершине A равен 120°, то внутренний \( \text{ }
   olangle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
5. Тогда \( \text{ }
   olangle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
6. Если внешний угол при вершине B равен 120°, то внутренний \( \text{ }
   olangle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
7. Тогда \( \text{ }
   olangle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Ответ: Углы треугольника равны 90°, 60°, 30° (если внешний угол при одной из острых вершин равен 120°).

4. Равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане

Теорема: Два прямоугольных треугольника равны, если катет и медиана, проведенная к этому катету, одного треугольника соответственно равны катету и медиане другого.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC (\( \text{ }
olangle C = 90^\circ \)) и A₁B₁C₁ (\( \text{ }
olangle C₁ = 90^\circ \)).

Пусть AC = A₁C₁ (катеты) и CM = C₁M₁ (медианы, проведенные к катетам).

Рассмотрим треугольники ACM и A₁C₁M₁.

AC = A₁C₁ (по условию).

CM = C₁M₁ (по условию).

AM = MC (так как CM — медиана) и A₁M₁ = M₁C₁ (так как C₁M₁ — медиана).

Следовательно, AM = MC = A₁M₁ = M₁C₁.

Треугольники ACM и A₁C₁M₁ равны по трем сторонам (AC = A₁C₁, CM = C₁M₁, AM = A₁M₁).

Из равенства этих треугольников следует, что \( \text{ }
olangle CAM = \text{ }
olangle C₁A₁M₁ \), то есть \( \text{ }
olangle A = \text{ }
olangle A₁ \).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁.

AC = A₁C₁ (по условию).

\( \text{ }
olangle A = \text{ }
olangle A₁ \) (доказано выше).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Билет 3

1. Теорема и следствие о сумме углов треугольника, теорема и следствие о внешнем угле треугольника

Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180°.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Следствие 2: Сумма внешнего и внутреннего углов треугольника, прилежащих к одной вершине, равна 180°.

Теорема о внешнем угле треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Следствие: Внешний угол треугольника больше каждого из двух других углов треугольника, не смежных с ним.

2. Признак параллельности прямых (по внутренним накрест лежащим углам)

Признак: Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямые a и b пересечены секущей c. \( \text{ }
olangle 1 = \text{ }
olangle 2 \) (внутренние накрест лежащие). Докажем, что a || b.

Пусть \( \text{ }
olangle 2 \) и \( \text{ }
olangle 3 \) — внутренние накрест лежащие углы. Если \( \text{ }
olangle 1 = \text{ }
olangle 2 \) (по условию), и \( \text{ }
olangle 2 = \text{ }
olangle 3 \) (вертикальные), то \( \text{ }
olangle 1 = \text{ }
olangle 3 \). Углы \( \text{ }
olangle 1 \) и \( \text{ }
olangle 3 \) — соответственные. Так как соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны.

3. Медиана треугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• Медиана BM = 0.5 * AC.

Найти: Угол.

Решение:

Если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна половине этой стороны, то этот треугольник прямоугольный, и угол, противолежащий этой стороне, является прямым.

В данном случае медиана BM проведена к стороне AC. Так как BM = 0.5 * AC, то угол, противолежащий стороне AC, равен 90°. Это угол ABC.

Ответ: Угол ABC = 90°.

4. Внешние углы треугольника и периметр

Дано:

• Треугольник ABC.
• Два внешних угла равны.
• Периметр P = 74 см.
• Одна сторона, например AB = 16 см.

Найти: Две другие стороны (BC и AC).

Решение:

1. Если два внешних угла треугольника равны, то и соответствующие внутренние углы, смежные с ними, равны.
2. Пусть внешние углы при вершинах A и B равны. Тогда внутренние углы \( \text{ }
   olangle A = \text{ }
   olangle B \).
3. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. Значит, AC = BC.
4. Периметр треугольника P = AB + BC + AC.
5. 74 = 16 + BC + AC.
6. Так как AC = BC, то 74 = 16 + 2 * AC.
7. 2 * AC = 74 - 16 = 58.
8. AC = 58 / 2 = 29 см.
9. Следовательно, BC = 29 см.

Ответ: Две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.

Билет 4

1. Теорема о неравенстве треугольника и теорема о соотношении между сторонами и углами

Теорема о неравенстве треугольника: Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника:

1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
2. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
3. Против меньшей стороны лежит меньший угол.

2. Признаки параллельности прямых (по внутренним односторонним и соответственным углам)

Признак параллельности по внутренним односторонним углам: Если сумма двух внутренних односторонних углов, образуемых при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то эти прямые параллельны.

Признак параллельности по соответственным углам: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

3. Периметр равнобедренного треугольника

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Две стороны равны 3 см и 9 см.

Найти: Периметр.

Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Возможны два случая:

1. Боковые стороны равны 3 см, основание — 9 см.
2. Боковые стороны равны 9 см, основание — 3 см.

Случай 1: Периметр = 3 + 3 + 9 = 15 см.

Случай 2: Периметр = 9 + 9 + 3 = 21 см.

Ответ: Периметр может быть равен 15 см или 21 см.

4. Высота в прямоугольном треугольнике

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Проведена высота (к гипотенузе, если не указано иное).

Найти: Отрезок.

Примечание: Задание неполное, так как не указано, какая высота проведена и какой отрезок нужно найти (какой из отрезков, на которые высота делит гипотенузу).

Если высота CD проведена из вершины прямого угла C к гипотенузе AB, то:

• $$CD^2 = AD \times DB$$
• $$AC^2 = AD \times AB$$
• $$BC^2 = DB \times AB$$

Для решения необходимо знать длины сторон или отрезков гипотенузы.