1.8. z = 3x^2 + y^2 - 2y

Решение:

Найти частные производные 1-го порядка.

Частная производная по x (∂z/∂x):

Дифференцируем z по x, считая y постоянной:

\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 + y^2 - 2y) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2) + \frac{\partial}{\partial x}(y^2) - \frac{\partial}{\partial x}(2y) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot (2x) + 0 - 0 \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 6x \)

Частная производная по y (∂z/∂y):

Дифференцируем z по y, считая x постоянной:

\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 + y^2 - 2y) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) - \frac{\partial}{\partial y}(2y) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = 0 + 2y - 2 \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = 2y - 2 \)

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = 6x \), \( \frac{\partial z}{\partial y} = 2y - 2 \).