1.4. z = x^3 y + 3y^2 x

Решение:

Найти частные производные 1-го порядка.

Частная производная по x (∂z/∂x):

Дифференцируем z по x, считая y постоянной:

\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 y + 3y^2 x) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + 3y^2 \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x) \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot (3x^2) + 3y^2 \cdot 1 \)

\( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + 3y^2 \)

Частная производная по y (∂z/∂y):

Дифференцируем z по y, считая x постоянной:

\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 y + 3y^2 x) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = x^3 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) + 3x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^2) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = x^3 \cdot 1 + 3x \cdot (2y) \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + 6xy \)

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + 3y^2 \), \( \frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + 6xy \).