1.14. u = cos(xyz^2)

Решение:

Найти частные производные 1-го порядка.

Частная производная по x (∂u/∂x):

Дифференцируем u по x, считая y и z постоянными. Используем правило цепной производной: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Здесь \( f(v) = \cos(v) \) и \( v = xyz^2 \).

\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\cos(xyz^2)) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = -\sin(xyz^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xyz^2) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = -\sin(xyz^2) \cdot (yz^2) \)

\( \frac{\partial u}{\partial x} = -yz^2 \sin(xyz^2) \)

Частная производная по y (∂u/∂y):

Дифференцируем u по y, считая x и z постоянными:

\( \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\cos(xyz^2)) \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = -\sin(xyz^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xyz^2) \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = -\sin(xyz^2) \cdot (xz^2) \)

\( \frac{\partial u}{\partial y} = -xz^2 \sin(xyz^2) \)

Частная производная по z (∂u/∂z):

Дифференцируем u по z, считая x и y постоянными:

\( \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (\cos(xyz^2)) \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = -\sin(xyz^2) \cdot \frac{\partial}{\partial z}(xyz^2) \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = -\sin(xyz^2) \cdot (xy \cdot 2z) \)

\( \frac{\partial u}{\partial z} = -2xyz \sin(xyz^2) \)

Ответ: \( \frac{\partial u}{\partial x} = -yz^2 \sin(xyz^2) \), \( \frac{\partial u}{\partial y} = -xz^2 \sin(xyz^2) \), \( \frac{\partial u}{\partial z} = -2xyz \sin(xyz^2) \).