09. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. а) Найдите величину угла $A$, если $DB=6$, $BC=12$. б) Углы треугольника $ABC$ относятся так: $\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3$. Биссектриса $BM$ угла $ABC$ равна 16. Найдите длину отрезка $MC$.

Question

09. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. а) Найдите величину угла $A$, если $DB=6$, $BC=12$. б) Углы треугольника $ABC$ относятся так: $\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3$. Биссектриса $BM$ угла $ABC$ равна 16. Найдите длину отрезка $MC$.

$Фото задания: 09. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. а) Найдите величину угла $A$, если…$ Фото задания

Accepted Answer

а) В прямоугольном треугольнике $BCD$: $BC^2=BD^2+CD^2$, поэтому $CD^2=12^2-6^2=108$, $CD=6\sqrt3$. Так как $\tan A=\frac{CD}{BD}$, то $\tan A=\sqrt3$, следовательно, $\angle A=60^\circ$.

б) Сумма частей равна 6, одна часть — $180^\circ:6=30^\circ$. Поэтому $\angle A=30^\circ$, $\angle B=60^\circ$, $\angle C=90^\circ$. Биссектриса $BM$ делит угол $B$ пополам, значит $\angle CBM=30^\circ$. В треугольнике $BCM$ углы при $B$ и $C$ равны $30^\circ$ и $90^\circ$, поэтому $\angle M=60^\circ$. Сторона $BM=16$ лежит против угла $C=90^\circ$, а $MC$ — против угла $B=30^\circ$. Следовательно, $MC=\frac12BM=8$.

Ответ: а) $60^\circ$; б) 8.