№8. В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB = 10√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая связывает сторону треугольника, противолежащий угол и радиус описанной окружности. Теорема гласит:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие углы, R - радиус описанной окружности.

В нашем случае нам известна сторона AB (которую обозначим как c) и противолежащий ей угол C. Таким образом, мы можем записать:

$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$

Подставим известные значения:

$$\frac{10\sqrt{2}}{\sin 45°} = 2R$$

Знаем, что sin 45° = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$

$$10\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R$$

$$20 = 2R$$

$$R = 10$$

Ответ: Радиус описанной окружности равен 10.