№ 4.В ромбе ABCD диагонали равны 5 и 12. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : MC = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD. Рассмотрите все случаи.

Ответ: 6 см²

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Тогда AO = OC = 1/2 AC и BO = OD = 1/2 BD.

Дано AC = 12 и BD = 5. Следовательно, AO = OC = 6 и BO = OD = 2.5.

Так как AM : MC = 4 : 1, то AM = 4/5 AC и MC = 1/5 AC.

Значит, AM = 4/5 * 12 = 4.8.

Площадь треугольника AMD равна половине произведения высоты на основание. В качестве основания возьмем AM, тогда высота равна OD = 2.5.

Площадь треугольника AMD: \[S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot 2.5 = 6\]

Ответ: 6 см²