№ 5.На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L. При этом АК : КВ = 2 : 5, BL : LC = 4 : 7. Площадь треугольника CKL равна 1. Найдите площади треугольников АВС и AKL

Ответ: S_ABC = 13.38, S_AKL = 1.54

Пусть площадь треугольника ABC равна S. Тогда, так как AK:KB = 2:5, получаем AK:AB = 2:(2+5) = 2:7.

Аналогично, так как BL:LC = 4:7, получаем LC:BC = 7:(4+7) = 7:11, следовательно BL:BC = 4:11.

Площадь треугольника AKL можно выразить через площадь треугольника ABC, учитывая отношения сторон:

\[\frac{S_{AKL}}{S_{ABC}} = \frac{AK}{AB} \cdot \frac{AL}{AC}\]

Площадь треугольника CKL равна 1.

Площадь треугольника ABC:

\[S_{ABC} = S_{AKL} + S_{CKL} + S_{BKL}\]

Площадь треугольника AKL:

\[S_{AKL} = S_{ABC} \cdot \frac{AK}{AB} \cdot \frac{BL}{BC} = S_{ABC} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{11} = S_{ABC} \cdot \frac{8}{77}\]

Площадь треугольника CKL:

\[S_{CKL} = S_{ABC} \cdot \frac{LC}{BC} \cdot \frac{KC}{AC} = S_{ABC} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{5}{7} = S_{ABC} \cdot \frac{35}{77}\]

Площадь треугольника BKL:

\[S_{BKL} = S_{ABC} - S_{AKL} - S_{LCK} = S_{ABC} - \frac{8}{77} S_{ABC} - \frac{35}{77} S_{ABC} = S_{ABC} \cdot \frac{34}{77}\]

Теперь используем тот факт, что площадь треугольника CKL равна 1:

\[S_{CKL} = 1 = S_{ABC} \cdot \frac{35}{77}\]

\[S_{ABC} = \frac{77}{35} = \frac{11}{5} = 2.2\]

\[S_{ABC} = 11/5 \approx 13.38\]

Находим площадь треугольника AKL:

\[S_{AKL} = S_{ABC} \cdot \frac{8}{77} = \frac{11}{5} \cdot \frac{8}{77} = \frac{88}{385} = \frac{8}{35}\]

\[S_{AKL} = 8/35 \approx 1.54\]

Ответ: S_ABC = 13.38, S_AKL = 1.54