№3. Точки $$K$$ и $$P$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ (рис. 3). Выразите вектор $$\vec{PK}$$ через векторы $$\vec{AD} = \vec{a}$$ и $$\vec{CD} = \vec{b}$$.

$$\vec{PK} = \vec{PA} + \vec{AK}$$. Так как $$P$$ и $$K$$ - середины сторон, то $$\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{DA} = -\frac{1}{2}\vec{a}$$, $$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$$. $$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{AD} + \vec{DC} - \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{BC}$$. В трапеции $$ABCD$$ стороны $$BC$$ и $$AD$$ параллельны, следовательно, $$\vec{BC} = k\vec{AD} = k\vec{a}$$, где $$k$$ - некоторое число. Тогда $$\vec{AB} = \vec{a} + \vec{b} - k\vec{a} = (1-k)\vec{a} + \vec{b}$$. $$\vec{AK} = \frac{1}{2}((1-k)\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1-k}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$. $$\vec{PK} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1-k}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{-1+1-k}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{k}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$. Ответ: $$\vec{PK} = -\frac{k}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$