№6. Найдите x. PABCD = 40

Обозначим точки касания окружности со сторонами четырехугольника как K, L, M, N, где K лежит на AB, L на BC, M на CD, N на DA.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведенных из одной точки равны. То есть, AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN.

Пусть AK = AN = a, BK = BL = b, CL = CM = c, DM = DN = d. Тогда AD = a + d = 8, BC = b + c = x.

Периметр четырехугольника ABCD равен:

$$P = AB + BC + CD + DA = (a+b) + (b+c) + (c+d) + (d+a) = 2(a+b+c+d) = 2((a+d)+(b+c))$$

Подставляем значения AD, BC и периметр:

$$40 = 2(8 + x)$$

Делим обе части на 2:

$$20 = 8 + x$$

Находим x:

$$x = 20 - 8 = 12$$

Ответ: 12