№4 (доп). Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС - равные хорды окружности. AD- ее диаметр. Докажите, что AD- биссектриса угла ВАС

Докажем, что AD - биссектриса угла BAC.

Так как AB и AC - равные хорды, то дуги AB и AC равны. Следовательно, ∠AOB = ∠AOC. AD - диаметр, значит, проходит через центр O.

Углы ∠ABD и ∠ACD - вписанные и опираются на равные дуги AB и AC, следовательно, ∠ABD = ∠ACD.

Треугольники ABO и ACO равны, так как AO - общая, AB = AC, OB = OC (радиусы). Следовательно, ∠BAO = ∠CAO. Значит, AO - биссектриса угла BAC, а так как AD - продолжение AO, то AD - биссектриса угла BAC.

Ответ: AD - биссектриса угла BAC, доказано.