№6. Дано: \(\Delta ABC\)-равноб., AD-высота, \(\angle B=30^\circ\). Найти: \(\angle CAD\)

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, \(\angle A = \angle C\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ\).

Учитывая, что \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B=30^\circ\), получаем \(2\angle A + 30^\circ = 180^\circ\).

Выразим \(\angle A\): \(2\angle A = 150^\circ\), следовательно \(\angle A = 75^\circ\).

Высота AD является перпендикуляром к стороне BC, поэтому \(\angle ADB = 90^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta ABD\). Угол \(\angle BAD = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Тогда угол \(\angle CAD = \angle A - \angle BAD = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ\).

Ответ: \(\angle CAD = 15^\circ\).