№4. Дано: \(\Delta ABC\)-прям., AB+BC=10см, \(\angle B=60^\circ\). Найти: AB, BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \(\Delta ABC\) с углом \(\angle B=60^\circ\) угол \(\angle A=90^\circ - 60^\circ =30^\circ\).

Пусть катет \(BC=x\), тогда катет \(AB=x\cdot \sqrt{3}\) (как катет, лежащий против угла в \(60^\circ\)).

По условию \(AB+BC=10\), т.е. \(x\cdot \sqrt{3}+x=10\).

Вынесем x за скобки: \(x(\sqrt{3}+1)=10\)

Выразим x: \(x=\frac{10}{\sqrt{3}+1}\)

Избавимся от иррациональности в знаменателе: \(x=\frac{10(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{10(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{10(\sqrt{3}-1)}{2}=5(\sqrt{3}-1)\)

Тогда \(BC=5(\sqrt{3}-1)\) см.

А \(AB=5(\sqrt{3}-1)\cdot \sqrt{3}=5(3-\sqrt{3})\) см.

Ответ: \(BC=5(\sqrt{3}-1)\) см, \(AB=5(3-\sqrt{3})\) см.