№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ZM=60°, отрезок AD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Дано: \(\triangle MNF\), \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle M = 60^\circ\), FD = 20 см, AD - биссектриса.

Найти: MN

Решение:

1. Т.к. AD - биссектриса, то \(\angle FMA = \angle AMD = \frac{1}{2} \angle M = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\)

2. В прямоугольном треугольнике MNF: \(\angle F = 180^\circ - \angle N - \angle M = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\)

3. Рассмотрим \(\triangle MDF\): \(\angle MDF = 180^\circ - \angle F - \angle DMF = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\)

4. Рассмотрим \(\triangle AMF\): \(\frac{MN}{MF} = sin(60^\circ)\), \(MN = MF \cdot sin(60^\circ)\)

5. Рассмотрим \(\triangle DMF\), где \(MD = MF\), \(\angle F = 30^\circ\), \(\frac{FD}{sin(30^\circ)} = \frac{MF}{sin(120^\circ)}\), \(MF = \frac{FD \cdot sin(120^\circ)}{sin(30^\circ)} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 20 \sqrt{3}\)

6. Подставим MF в формулу из пункта 4: \(MN = 20 \sqrt{3} \cdot sin(60^\circ) = 20 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30\)

7. Проверим значения углов в \(\triangle MDF\): \(FD = 20\), \(MF = 40\), тогда \(sin \frac{1}{2} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}\)

Следовательно, \(FM = 40\) см, тогда \(MN = MF \cdot sin(60^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\) см