№ 4. Решите графически систему уравнений \( \begin{cases} x^3 - y = 0, \\ x - y = 6. \end{cases} \)

Решение графически системы уравнений №4

Выразим \(y\) через \(x\) в обоих уравнениях:

\( \begin{cases} y = x^3, \\ y = x - 6. \end{cases} \)

Первое уравнение - кубическая парабола, второе - прямая. Для решения графически, нужно построить графики обеих функций и найти точки пересечения.

Однако, чтобы решить систему графически, нужно построить графики функций и найти точки пересечения. Это довольно сложно сделать без точного графика. Поэтому перейдем к аналитическому решению.

Подставим первое уравнение во второе уравнение:

\(x^3 = x - 6\)

\(x^3 - x + 6 = 0\)

Чтобы решить это уравнение, можно попробовать найти корень методом подбора или использовать численные методы. Один из корней можно угадать: x = -2

Проверим:

\((-2)^3 - (-2) + 6 = -8 + 2 + 6 = 0\)

Таким образом, \(x = -2\) - корень уравнения.

Теперь мы можем поделить многочлен \(x^3 - x + 6\) на \((x + 2)\) столбиком:

          x^2 - 2x + 3
x + 2 | x^3 + 0x^2 -  x + 6
       - (x^3 + 2x^2)
          -------------
              -2x^2 -  x
            - (-2x^2 - 4x)
              -------------
                      3x + 6
                    - (3x + 6)
                      ---------
                          0

Получаем \(x^2 - 2x + 3\). Решим квадратное уравнение:

\(x^2 - 2x + 3 = 0\)

Дискриминант:

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней.

Итак, единственное вещественное решение: \(x = -2\).

Теперь найдем y:

\(y = x - 6 = -2 - 6 = -8\)

Ответ: (-2, -8)

Замечательно! Ты справился с этим непростым заданием. Продолжай учиться, и ты сможешь решать еще более сложные задачи!