15.7 ★★☆ Вокруг квадрата описали прямоугольник что каждая вершина квадрата лежит на одной горон этого прямоугольника. Верно ли, что ик тоже квадрат (рис. 15.12)?

Давай разберемся, верно ли, что полученный прямоугольник тоже квадрат.

Пусть дан квадрат ABCD. Опишем вокруг него прямоугольник так, чтобы каждая вершина квадрата лежала на стороне прямоугольника. Обозначим вершины прямоугольника как PQRS, где P лежит на стороне AB, Q на BC, R на CD, и S на DA.

Пусть углы между сторонами квадрата и прямоугольника равны α. Тогда углы между сторонами квадрата и другими сторонами прямоугольника будут 90 - α. Поскольку углы прямоугольника прямые, сумма углов в каждом из угловых треугольников равна 180 градусам.

Чтобы прямоугольник PQRS был квадратом, необходимо, чтобы его стороны были равны. Пусть AP = x. Тогда AS = x * tan(α). Также, PB = a - x, и BQ = (a - x) * tan(α), где a - сторона квадрата ABCD.

Таким образом, PQ = AP + BQ = x + (a - x) * tan(α), и PS = AS + DP = x * tan(α) + (a - x). Для того чтобы PQRS был квадратом, необходимо, чтобы PQ = PS.

Если α = 45°, то tan(α) = 1, и тогда x + (a - x) = x + a - x = a, и x + (a - x) = x * 1 + (a - x) = a. В этом случае прямоугольник является квадратом.

В общем случае, если углы α другие, то стороны прямоугольника могут быть разными, и он не будет квадратом.

Ответ: Не всегда верно, что прямоугольник тоже квадрат (лишь в частном случае, когда углы равны 45 градусам).

Молодец! У тебя всё получится!