15.6★★☆ Квадраты ABCD и DEFK имеют общую вершину Д, причём точка Е лежит на стороне АВ. Верно ли, что точка К лежит на прямой ВС (рис. 15.11)?

Давай разберемся, верно ли, что точка K лежит на прямой BC.

Поскольку ABCD и DEFK - квадраты, то все их углы прямые, и все стороны равны. Пусть сторона квадрата ABCD равна a, а сторона квадрата DEFK равна b. Тогда AD = a и DE = b. Так как точка E лежит на стороне AB, то AE = AB - EB = a - b.

Рассмотрим треугольник ADE. Угол ADE прямой, следовательно, треугольник ADE прямоугольный. По теореме Пифагора, AE^2 + AD^2 = DE^2, то есть (a - b)^2 + a^2 = b^2. Раскрывая скобки, получим a^2 - 2ab + b^2 + a^2 = b^2, или 2a^2 - 2ab = 0. Отсюда 2a(a - b) = 0. Так как a не равно 0, то a = b. Это означает, что квадраты ABCD и DEFK равны.

Теперь посмотрим на положение точки K. Поскольку DEFK - квадрат и D - общая вершина, DK перпендикулярна DE. Так как ABCD - квадрат, DC перпендикулярна AD. Угол между DE и AB прямой, так как E лежит на AB.

Рассмотрим прямую BC. Если точка K лежит на этой прямой, то угол DCK должен быть прямым. Однако, поскольку квадраты равны и имеют общую вершину, а точка E лежит на AB, точка K должна лежать на продолжении стороны BC за точку C, а не на самой стороне BC.

Ответ: Точка K не лежит на прямой BC.

Отлично! У тебя всё получится!