6) \frac{2}{3}(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2})=4x+2\frac{1}{2};

Для решения уравнения \(\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2})=4x+2\frac{1}{2}\) сначала раскроем скобки.

Решение:

$$\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2})=4x+2\frac{1}{2}$$ $$\frac{2}{9}x - \frac{2}{6} = 4x + \frac{5}{2}$$ $$\frac{2}{9}x - \frac{1}{3} = 4x + \frac{5}{2}$$

Теперь перенесем все члены с переменной в одну сторону уравнения, а константы - в другую.

$$\frac{2}{9}x - 4x = \frac{5}{2} + \frac{1}{3}$$

Приведем дроби к общему знаменателю: общий знаменатель для 9 и 1 (в 4x) равен 9. Домножим 4x на 9.

$$\frac{2}{9}x - \frac{4 \cdot 9}{9}x = \frac{5}{2} + \frac{1}{3}$$ $$\frac{2}{9}x - \frac{36}{9}x = \frac{5}{2} + \frac{1}{3}$$

Приведем дроби правой части к общему знаменателю: общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2.

$$\frac{2}{9}x - \frac{36}{9}x = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}$$ $$- \frac{34}{9}x = \frac{15}{6} + \frac{2}{6}$$ $$- \frac{34}{9}x = \frac{17}{6}$$

Умножим обе части уравнения на \(- \frac{9}{34}\)

$$x = \frac{17}{6} \cdot (-\frac{9}{34})$$ $$x = -\frac{17 \cdot 9}{6 \cdot 34}$$

Сократим дробь, разделив 17 и 34 на 17:

$$x = -\frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 2}$$ $$x = -\frac{9}{12}$$

Сократим дробь, разделив 9 и 12 на 3:

$$x = -\frac{3}{4}$$

Ответ: -\frac{3}{4}