Решение задания 5

Преобразуем выражения под корнями. Заметим, что \(4\sqrt{14} = 2 \cdot 2 \sqrt{14} = 2 \sqrt{4} \sqrt{14} = 2 \sqrt{56}\).

Теперь попробуем представить подкоренные выражения в виде полных квадратов:

\(15 - 4\sqrt{14} = 8 - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{7} + 7 = (\sqrt{8} - \sqrt{7})^2 = (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^2\)

\(15 + 4\sqrt{14} = 8 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{7} + 7 = (\sqrt{8} + \sqrt{7})^2 = (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2\)

Тогда исходное выражение можно переписать как:

\(\sqrt{(2\sqrt{2} - \sqrt{7})^2} - \sqrt{(2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2} = |2\sqrt{2} - \sqrt{7}| - |2\sqrt{2} + \sqrt{7}|\)

Так как \(2\sqrt{2} = \sqrt{8}\) и \(\sqrt{7} < \sqrt{8}\), то \(2\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0\). Также, \(2\sqrt{2} + \sqrt{7} > 0\), поэтому модули можно раскрыть без изменения знаков:

\(2\sqrt{2} - \sqrt{7} - (2\sqrt{2} + \sqrt{7}) = 2\sqrt{2} - \sqrt{7} - 2\sqrt{2} - \sqrt{7} = -2\sqrt{7}\)

Ответ: \(-2\sqrt{7}\)