3) \(\frac{x+5}{x+2} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}\);

3) \(\frac{x+5}{x+2} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}\);

Приведем дроби к общему знаменателю, общий знаменатель (x+1)(x+2):

\(\frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x+1)(x+2)}\);

\(\frac{(x+5)(x+1) + 1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)}\);

Приравняем числители:

(x+5)(x+1) + 1 = x + 2

Раскроем скобки:

x² + x + 5x + 5 + 1 = x + 2

x² + 6x + 6 = x + 2

Перенесем все в левую часть:

x² + 6x + 6 - x - 2 = 0

Приведем подобные слагаемые:

x² + 5x + 4 = 0

Решим квадратное уравнение, найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9

D > 0, значит 2 корня.

Найдем корни:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\);

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4\);

Проверим корни на посторонние решения. Для этого подставим корни в исходное уравнение и убедимся, что знаменатели не обращаются в нуль:

x = -1:

Так как при x = -1 знаменатели первой и правой части обращаются в нуль, то этот корень посторонний.

x = -4:

\(\frac{-4+5}{-4+2} + \frac{1}{(-4+1)(-4+2)} = \frac{1}{-4+1}\);

\(\frac{1}{-2} + \frac{1}{(-3)(-2)} = \frac{1}{-3}\);

\(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3}\);

\(-\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6}\);

\(-\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\);

\(-\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\);

Значит, x = -4 является корнем уравнения.

Ответ: x = -4