471.1) \(\frac{3x + 4}{x - 6} = \frac{x - 2}{4x + 3}\);

1) \(\frac{3x + 4}{x - 6} = \frac{x - 2}{4x + 3}\);

Решим данное уравнение методом пропорции:

(3x + 4) * (4x + 3) = (x - 2) * (x - 6)

Раскроем скобки:

12x² + 9x + 16x + 12 = x² - 6x - 2x + 12

12x² + 25x + 12 = x² - 8x + 12

Перенесем все в левую часть:

12x² + 25x + 12 - x² + 8x - 12 = 0

Приведем подобные слагаемые:

11x² + 33x = 0

Вынесем общий множитель за скобку:

11x(x + 3) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

11x = 0 или x + 3 = 0

x = 0 или x = -3

Проверим корни на посторонние решения. Для этого подставим корни в исходное уравнение и убедимся, что знаменатели не обращаются в нуль:

x = 0:

\(\frac{3 \cdot 0 + 4}{0 - 6} = \frac{0 - 2}{4 \cdot 0 + 3}\);

\(\frac{4}{-6} = \frac{-2}{3}\);

\(-\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\);

x = -3:

\(\frac{3 \cdot (-3) + 4}{-3 - 6} = \frac{-3 - 2}{4 \cdot (-3) + 3}\);

\(\frac{-9 + 4}{-9} = \frac{-5}{-12 + 3}\);

\(\frac{-5}{-9} = \frac{-5}{-9}\);

Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = 0, x = -3