5) \(\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-3-x} = \frac{6}{x+3}\);

5) \(\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-3-x} = \frac{6}{x+3}\);

Преобразуем вторую дробь:

\(\frac{x^2}{x+3} + \frac{x}{3+x} = \frac{6}{x+3}\);

Так как 3 + x = x + 3, то:

\(\frac{x^2}{x+3} + \frac{x}{x+3} = \frac{6}{x+3}\);

Приведем дроби к общему знаменателю, общий знаменатель x + 3:

\(\frac{x^2 + x}{x+3} = \frac{6}{x+3}\);

Приравняем числители:

x² + x = 6

Перенесем все в левую часть:

x² + x - 6 = 0

Решим квадратное уравнение, найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25

D > 0, значит 2 корня.

Найдем корни:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\);

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\);

Проверим корни на посторонние решения. Для этого подставим корни в исходное уравнение и убедимся, что знаменатели не обращаются в нуль:

x = 2:

\(\frac{2^2}{2+3} - \frac{2}{-3-2} = \frac{6}{2+3}\);

\(\frac{4}{5} - \frac{2}{-5} = \frac{6}{5}\);

\(\frac{4}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}\);

\(\frac{6}{5} = \frac{6}{5}\);

x = -3:

Так как при x = -3 знаменатели обращаются в нуль, то этот корень посторонний.

Ответ: x = 2