4. \(\frac{(-3)^{3} \cdot 15^{4} \cdot (-25)^{2}}{5^{5} \cdot 3^{7}}\,\)

4. Для вычисления значения выражения \(\frac{(-3)^{3} \cdot 15^{4} \cdot (-25)^{2}}{5^{5} \cdot 3^{7}}\) необходимо упростить числитель и знаменатель, используя свойства степеней.

Представим число 15 как произведение 3 и 5: \(15 = 3 \cdot 5\).

Представим число -25 как \((-5)^2\).

Тогда выражение можно переписать следующим образом:

\(\frac{(-3)^{3} \cdot (3 \cdot 5)^{4} \cdot ((-5)^{2})^{2}}{5^{5} \cdot 3^{7}} = \frac{-3^{3} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 5^{4}}{5^{5} \cdot 3^{7}} = \frac{-3^{3+4} \cdot 5^{4+4}}{5^{5} \cdot 3^{7}} = \frac{-3^{7} \cdot 5^{8}}{5^{5} \cdot 3^{7}}\)

Используем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

Тогда получим:

\(\frac{-3^{7} \cdot 5^{8}}{5^{5} \cdot 3^{7}} = -3^{7-7} \cdot 5^{8-5} = -3^{0} \cdot 5^{3} = -1 \cdot 125 = -125\)

Ответ: -125