3. [2 балла] На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так, что угол ВЕС равен углу ВСА. Найдите длину отрезка ВЕ, если АЕ = 1, ЕС = 5, и угол АВС равен углу ВАС.

Пусть угол ВЕС = углу ВСА = α.

Пусть угол АВС = углу ВАС = β.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол ACB = α, угол BAC = β, угол ABC = β.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°: α + β + β = 180°.

Рассмотрим треугольник ВЕС. Угол ВЕС = α, угол ЕСВ = α, угол ЕВС = 180° - 2α.

Из уравнения для треугольника ABC: α + 2β = 180°, тогда α = 180° - 2β.

Из уравнения для треугольника ВЕС: α + α + угол ЕВС = 180°, тогда 2α + угол ЕВС = 180°.

Угол ЕВС = 180° - 2α.

Угол АВЕ = угол АВС - угол ЕВС = β - (180° - 2α) = β - 180° + 2α = β - 180° + 2(180° - 2β) = β - 180° + 360° - 4β = 180° - 3β.

Треугольники ABC и BEC подобны по двум углам (угол C общий и угол ВАС равен углу ЕВС).

Следовательно, $$\frac{AE}{BE} = \frac{BE}{EC}$$.

$$BE^2 = AE \cdot EC = 1 \cdot 5 = 5$$

$$BE = \sqrt{5}$$

Ответ: $$\sqrt{5}$$