ЗНАЧЕНИЯ: ∠MKE < ∠MNE в 2 раза. НАЙТИ: дуга MKE, дуга MNE.

Решение:

1. Так как ∠MKE < ∠MNE в 2 раза, то дуга MKE = 2 * дуга KE, а дуга MNE = 2 * дуга KE.
2. Вся окружность равна 360°.
3. Пусть дуга KE = x. Тогда дуга MKE = 2x, а дуга MNE = 2x.
4. Мы имеем, что дуга MKE = дуга MN + дуга KE.
5. Значит, 2x = дуга MN + x, откуда дуга MN = x.
6. Следовательно, дуга MKE = дуга MN + дуга KE = x + x = 2x.
7. Дуга MNE = дуга MN + дуга NE = x + дуга NE.
8. Мы знаем, что дуга MKE < дуга MNE в 2 раза.
9. 2x < (x + дуга NE) * 2
10. 2x < 2x + 2 * дуга NE
11. 0 < 2 * дуга NE, что верно.
12. Также, дуга MKE + дуга MNE = 360°.
13. 2x + (x + дуга NE) = 360°
14. 3x + дуга NE = 360°
15. Если ∠MKE < ∠MNE в 2 раза, то дуга MKE < дуга MNE в 2 раза.
16. Пусть дуга KE = x. Тогда дуга MKE = 2x.
17. Дуга MNE = 2 * дуга KE = 2x.
18. Значит, дуга MKE = дуга MNE = 2x.
19. Тогда 2x + 2x = 360°, откуда 4x = 360°, x = 90°.
20. Дуга KE = 90°.
21. Дуга MKE = 2 * 90° = 180°.
22. Дуга MNE = 2 * 90° = 180°.

Ответ: дуга MKE = 180°, дуга MNE = 180°.