№5 Задумали двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 19. Какое число задумали?

Пусть задуманное число - $$x$$. Тогда получившееся четырехзначное число можно представить как $$100x + x = 101x$$.

По условию, число $$101x$$ делится на 19. Значит, $$101x = 19k$$, где k - целое число.

Тогда $$x = \frac{19k}{101}$$. Поскольку $$x$$ - двузначное число, делящееся на 5, то возможные значения $$x$$: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95.

Проверим, какие из этих чисел, умноженные на 101, делятся на 19:

• 10: $$101 \cdot 10 = 1010$$. $$1010 : 19 = 53.15...$$ (не делится)
• 15: $$101 \cdot 15 = 1515$$. $$1515 : 19 = 79.73...$$ (не делится)
• 20: $$101 \cdot 20 = 2020$$. $$2020 : 19 = 106.31...$$ (не делится)
• 25: $$101 \cdot 25 = 2525$$. $$2525 : 19 = 132.89...$$ (не делится)
• 30: $$101 \cdot 30 = 3030$$. $$3030 : 19 = 159.47...$$ (не делится)
• 35: $$101 \cdot 35 = 3535$$. $$3535 : 19 = 186.05...$$ (не делится)
• 40: $$101 \cdot 40 = 4040$$. $$4040 : 19 = 212.63...$$ (не делится)
• 45: $$101 \cdot 45 = 4545$$. $$4545 : 19 = 239.21...$$ (не делится)
• 50: $$101 \cdot 50 = 5050$$. $$5050 : 19 = 265.78...$$ (не делится)
• 55: $$101 \cdot 55 = 5555$$. $$5555 : 19 = 292.36...$$ (не делится)
• 60: $$101 \cdot 60 = 6060$$. $$6060 : 19 = 318.94...$$ (не делится)
• 65: $$101 \cdot 65 = 6565$$. $$6565 : 19 = 345.52...$$ (не делится)
• 70: $$101 \cdot 70 = 7070$$. $$7070 : 19 = 372.10...$$ (не делится)
• 75: $$101 \cdot 75 = 7575$$. $$7575 : 19 = 398.68...$$ (не делится)
• 80: $$101 \cdot 80 = 8080$$. $$8080 : 19 = 425.26...$$ (не делится)
• 85: $$101 \cdot 85 = 8585$$. $$8585 : 19 = 451.84...$$ (не делится)
• 90: $$101 \cdot 90 = 9090$$. $$9090 : 19 = 478.42...$$ (не делится)
• 95: $$101 \cdot 95 = 9595$$. $$9595 : 19 = 505$$ (делится)

Таким образом, число 95 подходит.

Ответ: 95