3. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Пусть задуманное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры этого числа.

По условию, когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Значит:

$$(10a + b) \cdot a \cdot b = 255$$

Разложим число 255 на простые множители: $$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$.

Так как $$10a + b$$ - двузначное число, то оно должно быть одним из делителей числа 255, и его значение должно быть больше или равно 10 и меньше 100.

Делители 255:

$$1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255$$

Подходящие двузначные числа:

$$15, 17, 51, 85$$

Проверим каждое из этих чисел:

• Если задуманное число 15, то $$a = 1, b = 5$$. Тогда $$15 \cdot 1 \cdot 5 = 75$$, что не равно 255.
• Если задуманное число 17, то $$a = 1, b = 7$$. Тогда $$17 \cdot 1 \cdot 7 = 119$$, что не равно 255.
• Если задуманное число 51, то $$a = 5, b = 1$$. Тогда $$51 \cdot 5 \cdot 1 = 255$$, что равно 255.
• Если задуманное число 85, то $$a = 8, b = 5$$. Тогда $$85 \cdot 8 \cdot 5 = 3400$$, что не равно 255.

Таким образом, только число 51 удовлетворяет условию.

Ответ: Задумали число 51.