ЗАДАНИЕ №5 В рукописи 144 страницы. Первая машинистка может перепечатать рукопись за 12 часов, а вторая - за 24 часа. За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись, если бы работали совместно?

Введем обозначения:

• А – вся работа (144 страницы)
• t₁ – время первой машинистки (12 часов)
• t₂ – время второй машинистки (24 часа)
• P₁ – производительность первой машинистки
• P₂ – производительность второй машинистки
• t – общее время

Производительность – это объем работы, выполненный в единицу времени. Общая производительность равна сумме производительностей каждой из машинисток.

$$P_1 = \frac{A}{t_1}$$, $$P_2 = \frac{A}{t_2}$$, $$P = P_1 + P_2 = \frac{A}{t_1} + \frac{A}{t_2} = A(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})$$

Чтобы найти общее время, надо объем работы разделить на общую производительность:

$$t = \frac{A}{P} = \frac{A}{A(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1t_2}} = \frac{t_1t_2}{t_1 + t_2}$$ $$t = \frac{12 \cdot 24}{12 + 24} = \frac{12 \cdot 24}{36} = \frac{24}{3} = 8$$

Ответ: 8 часов