ЗАДАНИЕ №3 Решите уравнение: 1 18 X + = x-3 x2-9 x+3 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решим уравнение:

$$\frac{1}{x-3} + \frac{18}{x^2-9} = \frac{x}{x+3}$$

Заметим, что $$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x+3}{(x-3)(x+3)} + \frac{18}{(x-3)(x+3)} = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}$$ $$\frac{x+3+18}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-3x}{(x+3)(x-3)}$$ $$\frac{x+21}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-3x}{(x+3)(x-3)}$$

Умножим обе части на знаменатель:

$$x+21 = x^2-3x$$

Перенесем все в правую часть:

$$x^2-3x-x-21 = 0$$ $$x^2-4x-21 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим корни:

x = 7:

$$\frac{1}{7-3} + \frac{18}{7^2-9} = \frac{1}{4} + \frac{18}{49-9} = \frac{1}{4} + \frac{18}{40} = \frac{1}{4} + \frac{9}{20} = \frac{5+9}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$$ $$\frac{7}{7+3} = \frac{7}{10}$$

x = -3:

Если х = -3, то знаменатель второй дроби обращается в нуль. Значит, этот корень не подходит.

Меньший корень равен 7.

Ответ: 7