Задание 9. Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центральный угол \( ∠ AOD \) равен 110°. Дуга AD, на которую опирается этот угол, также равна 110°.

Вписанный угол \( ∠ ABD \) опирается на ту же дугу AD, поэтому он равен половине этой дуги: \( ∠ ABD = \frac{1}{2} ∠ AOD = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник AOD. Так как OA = OD (радиусы), то он равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ OAD = ∠ ODA = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ}}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник BOC. Угол \( ∠ BOC \) — центральный, он равен центральному углу \( ∠ AOD \) как вертикальный (если O — центр окружности и AC и BD — пересекающиеся хорды). Однако, по рисунку AC и BD — хорды, пересекающиеся в точке O. Нам дан центральный угол AOD, который опирается на дугу AD. Величина этой дуги равна 110°.

Вписанный угол \( ∠ ACD \) опирается на дугу AD, поэтому \( ∠ ACD = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

Угол \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB. Центральный угол \( ∠ AOB \) равен \( 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \) (развёрнутый угол). Значит, дуга AB равна 70°.

Вписанный угол \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB, поэтому \( ∠ ACB = \frac{1}{2} ∠ AOB = \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ} \).

Ответ: 35