Задание 5 (20 баллов).

Задание 5 (20 баллов).

Памятка для решения текстовой задачи

Составьте математическую модель задачи и решите её.

В две ёмкости налит раствор кислоты различной концентрации. В первой 4 л, во второй 16 л. Если их слить вместе, то получится раствор концентрацией 57%. Если же слить равное количество, то концентрация раствора будет 60%. Сколько литров чистой кислоты содержится в первой ёмкости?

Пошаговое решение:

Разбираемся: составим систему уравнений, где неизвестными будут концентрации кислоты в каждой ёмкости.

Пусть:

• \( x \) — концентрация кислоты в первой ёмкости (в долях от 1);
• \( y \) — концентрация кислоты во второй ёмкости (в долях от 1).

Случай 1: Сливаем всё содержимое.

Общий объём: \( 4 + 16 = 20 \) л.

Количество кислоты в первой ёмкости: \( 4x \) л.

Количество кислоты во второй ёмкости: \( 16y \) л.

Общее количество кислоты: \( 4x + 16y \) л.

Концентрация полученного раствора: 57% или 0,57.

Первое уравнение: \( \frac{4x + 16y}{20} = 0.57 \)

Умножаем обе части на 20: \( 4x + 16y = 0.57 \cdot 20 \Rightarrow 4x + 16y = 11.4 \).

Разделим на 4 для упрощения: \( x + 4y = 2.85 \).

Случай 2: Сливаем равное количество.

Пусть слили \( V \) литров из каждой ёмкости.

Количество кислоты, взятое из первой ёмкости: \( Vx \) л.

Количество кислоты, взятое из второй ёмкости: \( Vy \) л.

Общий объём слитого раствора: \( V + V = 2V \) л.

Общее количество кислоты: \( Vx + Vy \) л.

Концентрация полученного раствора: 60% или 0,6.

Второе уравнение: \( \frac{Vx + Vy}{2V} = 0.6 \)

Упрощаем: \( \frac{V(x + y)}{2V} = 0.6 \Rightarrow \frac{x + y}{2} = 0.6 \).

Умножаем обе части на 2: \( x + y = 1.2 \).

Решаем систему уравнений:

У нас есть система:

\[ \begin{cases} x + 4y = 2.85 \\ x + y = 1.2 \end{cases} \]

1. Шаг 1: Выразим \(x\) из второго уравнения: \( x = 1.2 - y \).
2. Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение: \( (1.2 - y) + 4y = 2.85 \).
3. Шаг 3: Раскроем скобки и приведём подобные: \( 1.2 + 3y = 2.85 \).
4. Шаг 4: Найдем \(y\): \( 3y = 2.85 - 1.2 \Rightarrow 3y = 1.65 \Rightarrow y = \frac{1.65}{3} = 0.55 \).
5. Шаг 5: Теперь найдем \(x\), подставив \( y = 0.55 \) в \( x = 1.2 - y \): \( x = 1.2 - 0.55 = 0.65 \).

Результат: Концентрация кислоты в первой ёмкости \( x = 0.65 \) (или 65%), во второй \( y = 0.55 \) (или 55%).

Вопрос задачи: Сколько литров чистой кислоты содержится в первой ёмкости?

Объём первой ёмкости = 4 л.

Концентрация в первой ёмкости = 65%.

Количество чистой кислоты = \( 4 \text{ л} \cdot 0.65 \).

\( 4 \cdot 0.65 = 2.6 \) л.

Ответ: В первой ёмкости содержится 2,6 литра чистой кислоты.