Задание 4. Постройте графики следующих функций и опишите их основные свойства: 1) y=2arcsinx−1; 2) y=−2arccosx+1; 3) y=−arctgx.

1) \(y=2\arcsin x-1\)

• Область определения: \([-1;1]\).
• Множество значений: \([-\pi-1;\pi-1]\).
• Функция возрастает на всём промежутке определения.
• График проходит через точки \((-1;-\pi-1)\), \((0;-1)\), \((1;\pi-1)\).
• Нуль: \(x=\sin\frac12\).

2) \(y=-2\arccos x+1\)

• Область определения: \([-1;1]\).
• Множество значений: \([1-2\pi;1]\).
• Функция возрастает, так как \(\arccos x\) убывает, а умножение на \(-2\) меняет направление монотонности.
• График проходит через \((-1;1-2\pi)\), \((0;1-\pi)\), \((1;1)\).
• Нуль: \(x=\cos\frac12\).

3) \(y=-\arctg x\)

• Область определения: \(\mathbb R\).
• Множество значений: \(\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)\).
• Функция нечётная и убывает на всей числовой прямой.
• Нуль: \(x=0\).
• Горизонтальные асимптоты: \(y=\frac\pi2\) при \(x\to-\infty\) и \(y=-\frac\pi2\) при \(x\to+\infty\).