Задание 4 (максимальное количество баллов – 2 балла) Решите уравнения: a) (1/2)^(2x-8) = 1/8 b) log_2(3x+5) – log_2(2-x) = 1

Решение Задания 4:

а) Решение уравнения \( (\frac{1}{2})^{2x-8} = \frac{1}{8} \)

1. Приведём обе части уравнения к одному основанию. Основание \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
2. \( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} \).
3. Уравнение примет вид: \( (2^{-1})^{2x-8} = 2^{-3} \).
4. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 2^{(-1)(2x-8)} = 2^{-3} \) \( \Rightarrow 2^{-2x+8} = 2^{-3} \).
5. Приравниваем показатели степеней: \( -2x + 8 = -3 \).
6. Решаем линейное уравнение: \( -2x = -3 - 8 \) \( \Rightarrow -2x = -11 \) \( \Rightarrow x = \frac{-11}{-2} = \frac{11}{2} \).

б) Решение уравнения \( \log_2{(3x+5)} - \log_2{(2-x)} = 1 \)

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 3x+5 > 0 \) \( \Rightarrow 3x > -5 \) \( \Rightarrow x > -\frac{5}{3} \).
• \( 2-x > 0 \) \( \Rightarrow 2 > x \) \( \Rightarrow x < 2 \).
• Таким образом, ОДЗ: \( x \in (-\frac{5}{3}, 2) \).
2. Используем свойство логарифмов \( \log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}} \): \( \log_2{\frac{3x+5}{2-x}} = 1 \).
3. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному: \( \frac{3x+5}{2-x} = 2^1 \) \( \Rightarrow \frac{3x+5}{2-x} = 2 \).
4. Решаем полученное уравнение: \( 3x+5 = 2(2-x) \) \( \Rightarrow 3x+5 = 4-2x \) \( \Rightarrow 3x+2x = 4-5 \) \( \Rightarrow 5x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{1}{5} \).
5. Проверим, попадает ли найденное значение \( x = -\frac{1}{5} \) в ОДЗ \( x \in (-\frac{5}{3}, 2) \).
6. \( -\frac{5}{3} = -1.66... \), \( -\frac{1}{5} = -0.2 \). Так как \( -1.66... < -0.2 < 2 \), то \( x = -\frac{1}{5} \) входит в ОДЗ.

Ответ: а) \( x = \frac{11}{2} \); б) \( x = -\frac{1}{5} \).