Задание 2 (максимальное количество баллов – 1 балл) Решите неравенства методом интервалов: a) 2 – x – 3x² < 0 b) (x+6) / (x(6+2x)) ≥ 0

Решение Задания 2:

а) Решение неравенства \( 2 - x - 3x^2 < 0 \)

1. Приведём неравенство к стандартному виду: \( -3x^2 - x + 2 < 0 \).
2. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \( 3x^2 + x - 2 > 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 + x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \).
4. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \).
5. Так как ветви параболы \( y = 3x^2 + x - 2 \) направлены вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), то неравенство \( 3x^2 + x - 2 > 0 \) выполняется при \( x < -1 \) или \( x > \frac{2}{3} \).

б) Решение неравенства \( \frac{x+6}{x(6+2x)} \ge 0 \)

1. Приведём знаменатель к более простому виду: \( x(6+2x) = 2x(3+x) \).
2. Неравенство примет вид: \( \frac{x+6}{2x(3+x)} \ge 0 \).
3. Определим корни числителя и знаменателя: \( x+6=0 \Rightarrow x=-6 \), \( 2x=0 \Rightarrow x=0 \), \( 3+x=0 \Rightarrow x=-3 \).
4. Отметим эти точки на числовой оси: -6, -3, 0.
5. Определим знаки выражений на интервалах:
• \( x < -6 \): \( \frac{-}{-\cdot -} = - \)
• \( -6 < x < -3 \): \( \frac{+}{-\cdot -} = + \)
• \( -3 < x < 0 \): \( \frac{+}{-\cdot +} = - \)
• \( x > 0 \): \( \frac{+}{+\cdot +} = + \)
6. Так как \( x
   e 0 \) и \( x
   e -3 \) (нули знаменателя), то эти точки не включаются в решение. \( x=-6 \) включается, так как неравенство \( \ge 0 \).
7. Решение неравенства: \( x \in [-6, -3) \cup (0, +\infty) \).

Ответ: а) \( x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{2}{3}, +\infty) \); б) \( x \in [-6, -3) \cup (0, +\infty) \).