Задание 3*. Какое минимальное количество ящиков в форме куба необходимо для того, чтобы полностью заполнить склад, представляющий собой прямоугольный параллелепипед с длиной 963 см, шириной 855 см и высотой 567 см? (подсказка: суммарный объём ящиков должен равняться объёму параллелепипеда)

Решение:

Чтобы найти минимальное количество ящиков-кубов, нужно найти наибольший возможный размер стороны куба, который может быть использован для упаковки параллелепипеда. Этот размер будет равен наибольшему общему делителю (НОД) длин всех сторон параллелепипеда.

1. Найдем НОД(963, 855, 567) с помощью алгоритма Евклида.
• Разложим на простые множители:
• \( 963 = 3 \cdot 321 = 3 \cdot 3 \cdot 107 \)
• \( 855 = 5 \cdot 171 = 5 \cdot 3 \cdot 57 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19 \)
• \( 567 = 3 \cdot 189 = 3 \cdot 3 \cdot 63 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \)
• Общие множители: \( 3 \times 3 = 9 \).
• Значит, НОД(963, 855, 567) = 9.
2. Сторона куба будет равна 9 см.
3. Объем параллелепипеда: \( V_{параллелепипед} = 963 \text{ см} \times 855 \text{ см} \times 567 \text{ см} \).
4. Объем одного куба: \( V_{куб} = 9 \text{ см} \times 9 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 729 \text{ см}^3 \).
5. Количество кубов: \( N = \frac{V_{параллелепипед}}{V_{куб}} = \frac{963 \times 855 \times 567}{9 \times 9 \times 9} \).
6. Сократим: \( N = \frac{963}{9} \times \frac{855}{9} \times \frac{567}{9} \)
7. \( N = 107 \times 95 \times 63 \)
8. \( N = 10165 \times 63 \)
9. \( N = 640395 \)

Ответ: 640395 ящиков.