Задание 16 (3 балла) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², a=1, b=3, y=0

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью абсцисс ( \( y=0 \)) и вертикальными прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле определённого интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 \), \( a=1 \) и \( b=3 \).

Вычислим площадь:

\( S = \int_{1}^{3} x^2 dx \)

Найдём первообразную для \( x^2 \):

\( F(x) = \frac{x^3}{3} \)

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = F(b) - F(a) \)

\( S = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \)

\( S = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \)

\( S = 9 - \frac{1}{3} \)

\( S = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \)

\( S = \frac{26}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{26}{3} \).