Задание 15 (3 балла) Найдите точки экстремума функции: y = x² - 4x² + 5x - 1

Решение:

Сначала упростим выражение функции:

\( y = x^2 - 4x^2 + 5x - 1 \)

\( y = -3x^2 + 5x - 1 \)

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти первую производную функции и приравнять её к нулю:

\( y' = ( -3x^2 + 5x - 1 )' \)

\( y' = -6x + 5 \)

Приравняем производную к нулю:

\( -6x + 5 = 0 \)

\( -6x = -5 \)

\( x = \frac{-5}{-6} \)

\( x = \frac{5}{6} \)

Теперь проверим, является ли найденная точка точкой максимума или минимума, найдя вторую производную:

\( y'' = ( -6x + 5 )' \)

\( y'' = -6 \)

Так как \( y'' < 0 \), то в точке \( x = \frac{5}{6} \) находится точка максимума.

Теперь найдём значение функции в этой точке:

\( y = -3 \left( \frac{5}{6} \right)^2 + 5 \left( \frac{5}{6} \right) - 1 \)

\( y = -3 \left( \frac{25}{36} \right) + \frac{25}{6} - 1 \)

\( y = -\frac{75}{36} + \frac{150}{36} - \frac{36}{36} \)

\( y = \frac{-75 + 150 - 36}{36} \)

\( y = \frac{39}{36} \)

\( y = \frac{13}{12} \)

Ответ: Точка максимума имеет координаты \( \left( \frac{5}{6}; \frac{13}{12} \right) \).