Задание № 15 ОГЭ. 12. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=66° и BM=AM=MC.

Дано:

• Треугольник АВС.
• ВМ — медиана.
• ∠C = 66°.
• BM = AM = MC.

Найти: ∠A.

Решение:

1. • Так как ВМ — медиана, то точка М делит сторону АС пополам: AM = MC.
2. • По условию BM = AM = MC. Это означает, что точка М является центром описанной окружности для треугольника АВС, а стороны AM, MC и BM являются радиусами этой окружности.
3. • Рассмотрим треугольник ВМС. Так как BM = MC, он равнобедренный. Следовательно, ∠MBC = ∠C = 66°.
4. • Сумма углов в треугольнике ВМС равна 180°. Тогда ∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠C) = 180° - (66° + 66°) = 180° - 132° = 48°.
5. • Угол ∠AMB является смежным с углом ∠BMC. Поэтому ∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 48° = 132°.
6. • Рассмотрим треугольник АМВ. Так как AM = BM, он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠BAM = ∠MBA.
7. • Сумма углов в треугольнике АМВ равна 180°. Тогда ∠BAM + ∠MBA + ∠AMB = 180°.
8. • Так как ∠BAM = ∠MBA, обозначим их как x. Тогда 2x + 132° = 180°.
9. • 2x = 180° - 132° = 48°.
10. • x = 48° / 2 = 24°.
11. • Следовательно, ∠A = ∠BAM = 24°.

Ответ: 24°