Задание 1. Найдите значение выражения: a) \(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{27}}}{-\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}+1}\) (10 баллов);

Привет! Давай разберемся с этим заданием по математике. Нам нужно найти значение выражения:

• \[ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{27}}}{-\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}+1} \]

Шаг 1: Упростим первое слагаемое.

• Сначала найдем кубический корень из квадратного корня из 27: \[ \sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[3]{(3^3)^{1/2}} = \sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{(3/2)*(1/3)} = 3^{1/2} = \sqrt{3} \]
• Теперь подставим это обратно в первое слагаемое: \[ \frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = -1 \]

Шаг 2: Упростим второе слагаемое.

• Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, то есть на $$3\sqrt{3}-1$$: \[ \frac{3\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}+1} \times \frac{3\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}-1} = \frac{(3\sqrt{3}-1)^2}{(3\sqrt{3})^2 - 1^2} \]
• Раскроем скобки в числителе по формуле $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$: \[ (3\sqrt{3}-1)^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \times 3\sqrt{3} \times 1 + 1^2 = (9 \times 3) - 6\sqrt{3} + 1 = 27 - 6\sqrt{3} + 1 = 28 - 6\sqrt{3} \]
• Вычислим знаменатель: \[ (3\sqrt{3})^2 - 1^2 = (9 \times 3) - 1 = 27 - 1 = 26 \]
• Итак, второе слагаемое равно: \[ \frac{28 - 6\sqrt{3}}{26} = \frac{2(14 - 3\sqrt{3})}{26} = \frac{14 - 3\sqrt{3}}{13} \]

Шаг 3: Сложим результаты.

• Теперь сложим упрощенные слагаемые: \[ -1 + \frac{14 - 3\sqrt{3}}{13} \]
• Приведем к общему знаменателю 13: \[ \frac{-1 \times 13}{13} + \frac{14 - 3\sqrt{3}}{13} = \frac{-13 + 14 - 3\sqrt{3}}{13} = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{13} \]

Ответ:

Ответ: $$\frac{1 - 3\sqrt{3}}{13}$$