Задание 1. Докажите, что значение выражения: а) \((2^{10}+2^8)(2^5-2^3)\) делится на 60; б) \((125^2+25^2)(5^2-1)\) делится на 39.

а)

Вынесем общие множители:

\((2^{10}+2^8)(2^5-2^3)=2^8(2^2+1)\cdot 2^3(2^2-1)=2^{11}\cdot5\cdot3=2^{11}\cdot15.\)

Так как \(60=2^2\cdot3\cdot5\), полученное выражение делится на 60.

б)

Представим числа как степени пятёрки:

\((125^2+25^2)(5^2-1)=((5^3)^2+(5^2)^2)(25-1)=5^4(5^2+1)\cdot24=5^4\cdot26\cdot24.\)

Поскольку \(26=2\cdot13\), а \(24\) делится на 3, выражение содержит множители 3 и 13. Так как \(39=3\cdot13\), выражение делится на 39.

Ответ: а) выражение делится на 60; б) выражение делится на 39.