Задание 6. Решите задачу по чертежу: АВ=ВС. Найдите периметр — ABC

Решение:

Рассмотрим рисунок. АК - радиус вписанной окружности, который перпендикулярен стороне АВ в точке касания К. Следовательно, треугольник АОК - прямоугольный.

По теореме Пифагора: \[AO^2 = AK^2 + OK^2\] \[AO = \sqrt{AK^2 + OK^2}\] \[AO = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

АО – биссектриса угла ВАС. Тогда \[\angle OAK = \angle OAB\]

Рассмотрим треугольники АОК и АОВ. У них сторона АО – общая, \[\angle OAK = \angle OAB\] и углы АКО и АВО прямые. Следовательно, треугольники равны, а значит, AK = AB = 6.

Тогда AC = 2 * AB = 2 * 6 = 12.

Периметр треугольника ABC равен: \(P = AB + BC + AC\) Так как AB = BC, то \(P = 6 + 6 + 12 = 24\)

Ответ: 24