Задание 1: Решите следующие выражения.

Конечно, я помогу тебе решить эти математические выражения. **1) \(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}\)** * Мы можем объединить корни: \(\sqrt{\frac{54}{6}} = \sqrt{9}\) * \(\sqrt{9} = 3\) **Ответ:** 3 **2) \(\sqrt{15 \cdot 20 \cdot 27}\)** * Разложим числа на простые множители: \(\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3^3}\) * \(\sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2}\) * \(2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90\) **Ответ:** 90 **3) \(\sqrt{25 \cdot 2^8}\)** * \(\sqrt{5^2 \cdot (2^4)^2}\) * \(5 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80\) **Ответ:** 80 **4) \(\sqrt{7 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3^4}\)** * Перепишем выражение как: \(\sqrt{7^{1} \cdot 5^2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 3^4}\) * \(\sqrt{7^{1+\frac{1}{2}} \cdot 5^2 \cdot 3^4} = \sqrt{7^{\frac{3}{2}} \cdot 5^2 \cdot 3^4} \) * \(5 \cdot 3^2 \cdot 7^{\frac{3}{4}} = 5 \cdot 9 \cdot 7^{\frac{3}{4}} = 45 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \) **Ответ:** \(45 \sqrt[4]{7^3}\) **5) \(\sqrt{2^6 \cdot 5^4 \cdot 19^2}\)** * \(2^3 \cdot 5^2 \cdot 19 = 8 \cdot 25 \cdot 19 = 200 \cdot 19 = 3800\) **Ответ:** 3800 **6) \(\sqrt{4x^8y^2}\) при \(x=3, y=10\)** * Подставляем значения: \(\sqrt{4 \cdot 3^8 \cdot 10^2}\) * \(2 \cdot 3^4 \cdot 10 = 2 \cdot 81 \cdot 10 = 1620\) **Ответ:** 1620 **7) \(\frac{\sqrt{49a^{11}} \cdot \sqrt{16b^6}}{\sqrt{a^7b^6}}\) при \(a=4, b=11\)** * \(\frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{a^{11}} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^6}}{\sqrt{a^7} \cdot \sqrt{b^6}}\) * \(\frac{7 \cdot a^{\frac{11}{2}} \cdot 4 \cdot b^3}{a^{\frac{7}{2}} \cdot b^3} = 28 \cdot a^{\frac{11}{2} - \frac{7}{2}} = 28 \cdot a^{\frac{4}{2}} = 28a^2\) * Подставляем a=4: \(28 \cdot 4^2 = 28 \cdot 16 = 448\) **Ответ:** 448 **8) \((2 + \sqrt{11})^2 + (2 - \sqrt{11})^2\)** * Раскроем скобки: \((4 + 4\sqrt{11} + 11) + (4 - 4\sqrt{11} + 11)\) * \(4 + 4\sqrt{11} + 11 + 4 - 4\sqrt{11} + 11 = 30\) **Ответ:** 30 **9) \(\sqrt{(-21)^2}\)** * \(\sqrt{441} = 21\) **Ответ:** 21 **10) \(\sqrt{(2\sqrt{3} - 7)^2} + 2\sqrt{3}\)** * \(|2\sqrt{3} - 7| + 2\sqrt{3}\) * Так как \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}\), а \(7 = \sqrt{49}\), то \(2\sqrt{3} - 7 < 0\) * \(-(2\sqrt{3} - 7) + 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3} + 7 + 2\sqrt{3} = 7\) **Ответ:** 7 **11) \(\frac{1}{4 + \sqrt{14}} + \frac{1}{4 - \sqrt{14}}\)** * Приведем к общему знаменателю: \(\frac{(4 - \sqrt{14}) + (4 + \sqrt{14})}{(4 + \sqrt{14})(4 - \sqrt{14})}\) * \(\frac{8}{16 - 14} = \frac{8}{2} = 4\) **Ответ:** 4 **12) \(\frac{1}{\sqrt{37} - 6} - \frac{1}{\sqrt{37} + 6}\)** * Приведем к общему знаменателю: \(\frac{(\sqrt{37} + 6) - (\sqrt{37} - 6)}{(\sqrt{37} - 6)(\sqrt{37} + 6)}\) * \(\frac{\sqrt{37} + 6 - \sqrt{37} + 6}{37 - 36} = \frac{12}{1} = 12\) **Ответ:** 12