Задание 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3-5t²-4t-7, где х расстояние от точки ки отсчёта в метрах, в секундах, измеренное с момента начала движения. а) Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=12 с. б) В какой момент времени её скорость была равна 71 м/с?

Ответ: а) 76 м/с; б) t = 9 с и t = -11/3 с

Решение:

а) Шаг 1: Находим производную функции x(t), чтобы получить формулу для скорости v(t):

\[v(t) = x'(t) = (\frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7)' = t^2 - 10t - 4\]

Шаг 2: Подставляем t = 12 с в формулу для скорости:

\[v(12) = (12)^2 - 10 \cdot 12 - 4 = 144 - 120 - 4 = 20\]

Таким образом, скорость в момент времени t = 12 с равна 20 м/с.

б) Шаг 1: Приравниваем формулу скорости к 71 м/с и решаем уравнение относительно t:

\[t^2 - 10t - 4 = 71\]

\[t^2 - 10t - 75 = 0\]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400\]

\[t_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 20}{2} = 15\]

\[t_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 20}{2} = -5\]

Таким образом, скорость равна 71 м/с в моменты времени t = 15 с и t = -5 с.

Ответ: а) 20 м/с; б) t = 15 с и t = -5 с