Задание 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=313-5t²-4t-7, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, измеренное с момента начала движения. а) Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=12 с. б) В какой момент времени её скорость была равна 71 м/с?

Решение.

а) Дано:

• $$x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7$$
• $$t = 12 \text{ c}$$
• $$v(t) - ?$$

Решение:

1. $$v(t) = x'(t)$$ $$v(t) = (\frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7)'$$ $$v(t) = t^2 - 10t - 4$$
2. $$v(12) = (12)^2 - 10 \cdot 12 - 4$$ $$v(12) = 144 - 120 - 4 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$

Ответ: $$20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$

б) Дано:

• $$x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7$$
• $$v(t) = 71 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$
• $$t - ?$$

Решение:

1. $$v(t) = x'(t)$$ $$v(t) = (\frac{1}{3}t^3 - 5t^2 - 4t - 7)'$$ $$v(t) = t^2 - 10t - 4$$
2. $$t^2 - 10t - 4 = 71$$ $$t^2 - 10t - 75 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{400}}{2} = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{400}}{2} = \frac{10 - 20}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ (не подходит, т.к. время не может быть отрицательным)

Ответ: 15 с