Задание 9. Ареометр массой 20 г имеет цилиндрическую трубку диаметром 5 мм. На сколько миллиметров изменится глубина погружения при переходе из воды в жидкость с плотностью 800 кг/м³? Решение оформите в виде расчетной физической задачи, описав физическое явление.

1. Выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости: \[F_A = \rho g V\] Где: \(F_A\) - выталкивающая сила (сила Архимеда), \(\rho\) – плотность жидкости, \(g\) – ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²), \(V\) – объем вытесненной жидкости.
2. Вес ареометра в обоих случаях одинаков, так как он плавает: \[P = mg\] Где: \(m\) – масса ареометра, \(g\) – ускорение свободного падения.
3. Приравниваем вес ареометра к выталкивающей силе в воде и в жидкости: В воде: \[mg = \rho_{воды} g V_{воды}\] В жидкости: \[mg = \rho_{жидкости} g V_{жидкости}\]
4. Выражаем объемы вытесненной жидкости через высоту погружения цилиндрической трубки: \[V = \pi r^2 h\] Где: \(r\) – радиус трубки, \(h\) – высота погружения.
5. Подставляем в уравнения для воды и жидкости: В воде: \[mg = \rho_{воды} g \pi r^2 h_{воды}\] В жидкости: \[mg = \rho_{жидкости} g \pi r^2 h_{жидкости}\]
6. Разделим одно уравнение на другое, чтобы избавиться от \(mg\) и упростить выражение: \[1 = \frac{\rho_{воды} h_{воды}}{\rho_{жидкости} h_{жидкости}}\]
7. Выражаем изменение высоты погружения \(\Delta h = h_{воды} - h_{жидкости}\): \[\Delta h = h_{воды} - h_{жидкости} = h_{воды} - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{жидкости}} h_{воды} = h_{воды} \left(1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{жидкости}}\right)\]
8. Находим высоту погружения в воде, зная массу ареометра и плотность воды: \[h_{воды} = \frac{m}{\rho_{воды} \pi r^2}\]
9. Подставляем известные значения: Масса ареометра \(m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}\), Плотность воды \(\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3\), Плотность жидкости \(\rho_{жидкости} = 800 \text{ кг/м}^3\), Радиус трубки \(r = \frac{5}{2} \text{ мм} = 0.0025 \text{ м}\).
10. Рассчитываем: \[h_{воды} = \frac{0.02}{1000 \cdot \pi \cdot 0.0025^2} \approx 1.0186 \text{ м}\] \[\Delta h = 1.0186 \left(1 - \frac{1000}{800}\right) = -0.25465 \text{ м} = -254.65 \text{ мм}\]

Ответ: Глубина погружения увеличится на 254.65 мм.