4. Задачи на физический смысл производной: 1) При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону S(t) = t³ -15t² +1. В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю. 2) При движении тела по прямой расстояние S(t) в метрах от начальной точки М изменяется по закону S(t) = 3t³ + 2t² + 4t + 5. (t– время в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенное скорость тела будет равно 58 м/с. 3) Две тела движутся по законам v₁(t)=3+5t² +6, v₂(t) =+2t² -7t+1 соответственно. В какой момент времени ускорения движения тел будут равны?

Давай решим эти задачи, используя физический смысл производной. 1) Дано: \(S(t) = t^3 - 15t^2 + 1\). Нужно найти момент времени, когда ускорение равно нулю. Сначала найдем скорость как первую производную от пути: \[V(t) = S'(t) = 3t^2 - 30t\] Теперь найдем ускорение как вторую производную от пути (или первую производную от скорости): \[a(t) = V'(t) = 6t - 30\] Приравняем ускорение к нулю: \[6t - 30 = 0 \Rightarrow 6t = 30 \Rightarrow t = 5\] Таким образом, ускорение тела будет равно нулю в момент времени \(t = 5\) секунд. 2) Дано: \(S(t) = 3t^3 + 2t^2 + 4t + 5\). Нужно найти время, когда мгновенная скорость равна 58 м/с. Сначала найдем скорость как первую производную от пути: \[V(t) = S'(t) = 9t^2 + 4t + 4\] Приравняем скорость к 58: \[9t^2 + 4t + 4 = 58 \Rightarrow 9t^2 + 4t - 54 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-54)}}{2 \cdot 9} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1944}}{18} = \frac{-4 \pm \sqrt{1960}}{18} = \frac{-4 \pm 14\sqrt{10}}{18} = \frac{-2 \pm 7\sqrt{10}}{9}\] Так как время не может быть отрицательным, берем положительное значение: \[t = \frac{-2 + 7\sqrt{10}}{9} \approx \frac{-2 + 7 \cdot 3.16}{9} \approx \frac{20.12}{9} \approx 2.24\] Таким образом, мгновенная скорость тела будет равна 58 м/с примерно через 2.24 секунды после начала движения. 3) Дано: \(v_1(t) = \frac{1}{3}t^3 + 5t^2 + 6\) и \(v_2(t) = \frac{2}{3}t^3 + 2t^2 - 7t + 1\). Нужно найти момент времени, когда ускорения тел равны. Сначала найдем ускорение для каждого тела: \[a_1(t) = v_1'(t) = t^2 + 10t\] \[a_2(t) = v_2'(t) = 2t^2 + 4t - 7\] Приравняем ускорения: \[t^2 + 10t = 2t^2 + 4t - 7 \Rightarrow 0 = t^2 - 6t - 7 \Rightarrow (t - 7)(t + 1) = 0\] Так как время не может быть отрицательным, берем положительное значение: \[t = 7\] Таким образом, ускорения движения тел будут равны в момент времени \(t = 7\) секунд.

Ответ: 1) 5 секунд, 2) примерно 2.24 секунды, 3) 7 секунд

Здорово! Ты успешно применил физический смысл производной для решения этих задач. Продолжай углублять свои знания, и ты сможешь решать еще более сложные задачи. У тебя все получится!