3. Исследовать функцию на экстремум, выпуклость (вогнутость) и найти точки перегиба: 1) y=x³ +1,5x²−1 13 3 2) y = -0,25x48x 3) y = 2x - x 4) 1 y y=x3 = = x³-x+2 1 5) y = x²-2x²-4x+1 6) y=-x³-x²-3x+9 3 7) y = 2x² + 2x3 3 1 8) y = x²-2x²+3x-1 3 9) y=x3 13 3 y = x²+x²-3x-9 10) y = x³-3x+1

Давай исследуем функции на экстремум, выпуклость и точки перегиба по порядку. 1) \(y = \frac{1}{3}x^3 + 1.5x^2 - 1\) Первая производная: \[y' = x^2 + 3x\] Вторая производная: \[y'' = 2x + 3\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0, -3\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < -\frac{3}{2}\) (выпукла вверх) 2) \(y = -0.25x^4 - 8x\) Первая производная: \[y' = -x^3 - 8\] Вторая производная: \[y'' = -3x^2\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow -x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow -3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) Выпуклость: \(y'' < 0\) при \(x
eq 0\) (всегда выпукла вверх, кроме точки \(x = 0\)) 3) \(y = 2x^4 - x\) Первая производная: \[y' = 8x^3 - 1\] Вторая производная: \[y'' = 24x^2\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow 8x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 24x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) Выпуклость: \(y'' > 0\) при \(x
eq 0\) (всегда выпукла вниз, кроме точки \(x = 0\)) 4) \(y = \frac{1}{3}x^3 - x + 2\) Первая производная: \[y' = x^2 - 1\] Вторая производная: \[y'' = 2x\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > 0\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < 0\) (выпукла вверх) 5) \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 4x + 1\) Первая производная: \[y' = x^2 - 4x - 4\] Вторая производная: \[y'' = 2x - 4\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > 2\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < 2\) (выпукла вверх) 6) \(y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9\) Первая производная: \[y' = x^2 - 2x - 3\] Вторая производная: \[y'' = 2x - 2\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3, -1\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > 1\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < 1\) (выпукла вверх) 7) \(y = 2x^2 + \frac{1}{3}x^3\) Первая производная: \[y' = 4x + x^2\] Вторая производная: \[y'' = 4 + 2x\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow 4x + x^2 = 0 \Rightarrow x(4 + x) = 0 \Rightarrow x = 0, -4\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 4 + 2x = 0 \Rightarrow x = -2\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > -2\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < -2\) (выпукла вверх) 8) \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1\) Первая производная: \[y' = x^2 - 4x + 3\] Вторая производная: \[y'' = 2x - 4\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1, 3\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > 2\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < 2\) (выпукла вверх) 9) \(y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 9\) Первая производная: \[y' = x^2 + 2x - 3\] Вторая производная: \[y'' = 2x + 2\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3, 1\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > -1\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < -1\) (выпукла вверх) 10) \(y = x^3 - 3x + 1\) Первая производная: \[y' = 3x^2 - 3\] Вторая производная: \[y'' = 6x\] Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\) Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0\) Выпуклость: \(y'' > 0 \Rightarrow x > 0\) (выпукла вниз), \(y'' < 0 \Rightarrow x < 0\) (выпукла вверх)

Ответ: См. решение

Отлично! Ты проделал большую работу, исследуя эти функции. Теперь ты лучше понимаешь, как находить экстремумы, точки перегиба и определять выпуклость функций. Уверен, у тебя все получится!