Задача №5 Чему равно изменение длины системы, состоящей из двух последовательно соединенных пружин, жесткости которых 28000Н/м и 4000Н/м, если к нижнему концу этой системы подвешен серебряный брусок объемом 15 л, а верхний ее конец закреплен к подвесу?

Дано:

• $$k_1 = 28000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$$ (жесткость первой пружины)
• $$k_2 = 4000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$$ (жесткость второй пружины)
• $$V = 15 \text{ л} = 0.015 \text{ м}^3$$ (объем серебряного бруска)
• $$\rho_{\text{серебра}} = 10500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$ (плотность серебра)
• $$g = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$ (ускорение свободного падения)

Найти: Δx (изменение длины системы пружин)

Решение:

1. Определим массу серебряного бруска:$$m = \rho V$$

где

• $$\rho$$ - плотность серебра,
• V - объем бруска.

Подставим значения:

$$m = 10500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.015 \text{ м}^3 = 157.5 \text{ кг}$$

2. При последовательном соединении пружин общая жесткость k определяется по формуле:$$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$$

Преобразуем формулу:

$$\frac{1}{k} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$$ $$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$$

Подставим значения:

$$k = \frac{28000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 4000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{28000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} + 4000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{112000000}{32000} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 3500 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$$

3. Изменение длины пружины под действием силы тяжести:$$\Delta x = \frac{mg}{k}$$

Подставим значения:

$$\Delta x = \frac{157.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{3500 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{1543.5 \text{ Н}}{3500 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0.441 \text{ м}$$

Ответ: 0.441 м