Решение задачи 6

а) Первая лемма о высотах

Первая лемма о высотах гласит: основания высот треугольника лежат на одной прямой (т.е. колинеарны) тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний или прямоугольный.

б) Нахождение угла B

Для нахождения угла B, нам потребуется дополнительная информация или чертеж, так как имеющихся данных недостаточно для однозначного определения угла. Если треугольник не является прямоугольным, то одной длины стороны и отрезка, образованного основанием высоты на этой стороне, недостаточно.

в) Нахождение высоты AA₁ и стороны AC

Дано: треугольник ABC остроугольный, высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке H, BH = HB₁, ∠ACB = 60°, AB₁ = √3.

1. Поскольку BH = HB₁, треугольник BB₁H равнобедренный, и ∠B₁HB = ∠B₁BH.

2. Угол ∠B₁HB и ∠AHA₁ равны как вертикальные углы.

3. Рассмотрим треугольник AB₁B. Так как BB₁ - высота, то ∠AB₁B = 90°. Тогда $$ an(angle ABB_1) = \frac{AB_1}{BB_1}$$

4. Угол ∠HB₁B = 90°, так как BB₁ – высота, тогда $$angle HBB_1 = 90 - \angle B_1HB$$

5. Рассмотрим треугольник ABC. $$angle BAC = 180° - \angle ACB - \angle ABC$$

   $$angle ABC = 180° - 60° - \angle BAC$$

6. Так как BH = HB₁, и ∠B₁HB = ∠B₁BH, и ∠ACB = 60°, следует, что треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Поскольку BB₁ – высота и медиана, треугольник ABC – равнобедренный, то AB = BC.

7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Тогда $$angle BAC = \angle BCA = 60$$ Значит, треугольник ABC – равносторонний.

8. Тогда AB = BC = AC.

9. В прямоугольном треугольнике AB₁B: AB₁ = √3 (дано).

10. Угол ∠ABC = 60°.

11. $$cos(60°) = \frac{AB_1}{AB}$$

    $$AB = \frac{AB_1}{\cos(60°)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$$

12. AC = AB, так как треугольник равносторонний.

    $$AC = 2\sqrt{3}$$

13. Находим высоту AA₁ из треугольника AA₁C:

    $$\sin(\angle ACB) = \frac{AA_1}{AC}$$

    $$AA_1 = AC \cdot \sin(\angle ACB) = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60°) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$$

Ответ: $$AA_1 = 3$$, $$AC = 2\sqrt{3}$$