Решение задачи 3

а)

Дано: Угол $$S$$, точки $$A, M$$ на одной стороне и $$B, N$$ на другой стороне угла. $$SA = a$$, $$SB = b$$, $$AM = m$$, $$BN = n$$, $$a:b = m:n$$.

Требуется доказать: $$AB \parallel MN$$.

Решение:

По условию, $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$. Это можно переписать как $$\frac{SA}{SB} = \frac{AM}{BN}$$. Обозначим $$\frac{SA}{SB} = \frac{AM}{BN} = k$$. Тогда $$SA = ka$$ и $$AM = km$$.

Рассмотрим отрезки $$SM = SA + AM = a + m$$ и $$SN = SB + BN = b + n$$.

Нужно проверить, верно ли, что $$\frac{SA}{SM} = \frac{SB}{SN}$$.

Имеем, $$\frac{SA}{SM} = \frac{a}{a+m}$$ и $$\frac{SB}{SN} = \frac{b}{b+n}$$.

Используем условие $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$, то есть $$an = bm$$.

Теперь рассмотрим $$\frac{a}{a+m}$$ и $$\frac{b}{b+n}$$. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a(b+n)}{(a+m)(b+n)} = \frac{ab+an}{ab+an+bm+mn}$$

$$\frac{b(a+m)}{(a+m)(b+n)} = \frac{ab+bm}{ab+an+bm+mn}$$

Так как $$an = bm$$, то $$\frac{ab+an}{ab+an+bm+mn} = \frac{ab+bm}{ab+an+bm+mn}$$, следовательно, $$\frac{a}{a+m} = \frac{b}{b+n}$$.

Это означает, что $$\frac{SA}{SM} = \frac{SB}{SN}$$, а значит, по теореме Фалеса, $$AB \parallel MN$$.

Ответ: Да, $$AB \parallel MN$$

б)

Дано: Треугольник $$ABC$$, $$AB = 7$$, $$AC = 3$$, $$BC = 5$$. Точка $$K$$ на продолжении $$BC$$ за точку $$C$$, $$\angle KAC = \angle ABC$$.

Найти: $$KC$$.

Решение:

Обозначим $$\angle KAC = \angle ABC = \alpha$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$AKC$$. У них $$\angle KAC = \angle ABC = \alpha$$ и $$\angle C$$ общий.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$AKC$$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорция:

$$\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{AC} = \frac{AB}{AK}$$

Используем $$\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{AC}$$:

$$\frac{3}{KC} = \frac{5}{3}$$

$$KC = \frac{3 \times 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$$

Ответ: $$KC = 1.8$$